[미적분] 라이프니츠 규칙 (Leibniz Rule)

[요약]

본 포스트는 미적분학의 라이프니츠 규칙에 대해 설명하고 있습니다.

This post contains the explanation about Leibniz Rule in Calculus.

$u$와 $v$가 $x$의 함수이고, $a$, $b$는 상수, $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$ 일 때, 부정적분, 리만합, 정적분 기본 정의에 의해

$$\frac{d}{dv}\int_{a}^{v}f(t)dt=f(v) \qquad 그리고 \qquad \frac{d}{du}\int_{u}^{a}f(t)dt=-f(u)$$ 

$I=\int_{u}^{v}f(t)dt$라 할 때, $I$를 전미분한 뒤, $dx$로 양변을 나누어 주면

$$\frac{dI}{dx}=\frac{\partial I}{\partial u}·\frac{du}{dx}+\frac{\partial I}{\partial v}·\frac{dv}{dx}$$

를 얻을 수 있다. 곧,

$$\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt=f(v)·\frac{dv}{dx}-f(u)·\frac{du}{dx}$$

그러므로 $a$, $b$가 상수일 때 식 $I$를 $x$에 대해 미분하면

$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x,t)dt=\int_{a}^{b}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt$$

(단, 이와 같이 적분 기호 내부에서 미분이 가능하기 위한 필요충분조건은 $\int_{a}^{b}f(x,t)dt$가 존재하고 $\frac{\partial f}{\partial x}$가 연속이면서 $\int_{a}^{b}g(t)dt$가 존재할 때, $\left|\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}\right|\leq g(t)$이다. 또한 $\int_{a}^{b}f(x,t)dt$, $\int_{a}^{b}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt$는 존재해야한다.

따라서, 라이프니츠 규칙은 다음과 같다.

$$\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(x,t)dt=f(x,v)·\frac{dv}{dx}-f(x,u)·\frac{du}{dx}+\int_{u}^{v}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt$$

(적분 윗끝과 아랫끝을 각 항에서 각각 상수로 취급)