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[요약]
본 포스트는 야코비 행렬식(Jacobian Matrix)에 대해 다루고 있습니다.
야코비 행렬식이 응용되는 분야가 생각날 때마다 계속해서 추가할 예정입니다.
야코비 행렬식은 그 형태는 단순하지만 미적분학 뿐만아니라 통계학, 계량경제학 등에서 다양하게 사용되는 행렬식이다.
야코비 행렬식의 용도를 나열하자면
1. n개의 함수의 집합 중에서 함수적 종속/함수적 독립을 판단
2. 수리통계학: 어떤 분포함수의 변형이 일대일 대응 함수이고 연속확률분포일 때, 그 분포함수의 변환 함수를 도출할 때 사용됨.
3. 음함수 미분법칙의 한가지 방법론으로 사용됨.
가 있다.
0. 야코비 행렬식의 기본형
함수 yi가 다음과 같이 존재한다고 할 때,
y1=f1(x1,x2,x3,⋯ ,xn)y2=f2(x1,x2,x3,⋯ ,xn)⋮ yn=fn(x1,x2,x3,⋯ ,xn)
에 대하여 다음과 같은 행렬식을 표현할 수 있다.
|J|=|∂y1∂x1∂y1∂x2⋯∂y1∂xn∂y2∂x1∂y2∂x2⋯∂y2∂xn⋮⋮⋱⋮∂yn∂x1∂yn∂x2⋯∂yn∂xn|
야코비 행렬식의 각 요소(element)는 각 함수 yn을 xi에 대해 편미분한 결과이다.
1. 연립방정식에서의 야코비 행렬식
Theorem
n개의 함수의 집합 중에서 종속관계는 다음과 같다.
(1) |J|=0이면 함수적으로 종속이다.
(2) |J|≠0이면 함수적으로 독립이다.
2. 음함수 미분법칙에서의 야코비 행렬식 (Implicit Function)
Theorem
∂yi∂x1=|Ji||J|
단, (i=1,2,⋯,n)
Proof
Fn(y1,y2,⋯,yn:x1,x2,⋯,xn)=0dFn=∂Fn∂y1dy1+∂Fn∂y2dy2+⋯+∂Fn∂x1dx1+⋯=0
양변을 dx1로 나누면, x1이 아닌 다른 xi는 상수 취급을 하여 모두 0으로 소거된다. (∵dxi=0)
그러므로 식을 정리하면
dFn=∂Fn∂y1dy1dx1+∂Fn∂y2dy2dx1+⋯+∂Fn∂x1dx1dx1+⋯⋯⏟become 0=0=∂Fn∂y1∂y1∂x1+∂Fn∂y2∂y2∂x1+⋯=−∂Fn∂x1
이다. (여기에서 dyidx1는 ∂yi∂x1와 같이 편미분으로 표기해도 상관 없음)
결과적으로 위 식은 ∂yi∂x1을 변수로하는 방정식으로 표현할 수 있다. 정리된 방정식을 행렬로 나타내면,
(∂F1∂y1∂F1∂y2⋯∂F1∂yn∂F2∂y1∂F2∂y2⋯∂F2∂yn⋮⋮⋱⋮∂Fn∂y1∂Fn∂y2⋯∂Fn∂yn)⏟Jacobian Matrix Form(∂y1∂x1⋮⋮∂yn∂x1)=(−∂F1∂x1⋮⋮−∂Fn∂x1)
위 행렬의 해는 크래머 공식(Cramer's Rule)을 이용하여 도출할 수 있다. 따라서,∂yi∂x1=|Ji||J| 이 성립함을 알 수 있다.
3. 통계학에서의 야코비 행렬식
연속확률분포함수의 확률변수를 변환하는 변수변환 과정에서 변환된 확률분포함수를 도출할 때에 야코비 행렬식이 사용된다.
Theorem
연속확률변수 X1,X2의 결합확률변수가 f(x1,x2)이고 (x1,x2)와 (y1,y2)는 서로 **일대일로 대응**하여 y1=u1(x1,x2),y2=u2(x1,x2)를 x에 대해 정리하여 x1=w1(y1,y2),x2=w2(y1,y2)가 될 때, Y1과 Y2의 결합확률분포는
g(y1,y2)=f[w1(y1,y2),w2(y1,y2)]⋅|J|
이다. 여기서 |J|는 야코비 행렬식이고 각 요소에는 xi에 대한 yi 편미분 값을 갖는다.
본 포스트에서는 야코비 행렬식의 활용에 대해 알아보았습니다. 이 외에도 야코비 행렬식은 그 특성상 다양한 용도로 활용할 수 있겠죠?
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